Cüneyt Çakır, 2006 yılında FIFA kokartı takmaya hak kazanıyor. Daha sonra başarılı kariyerinden ötürü Cüneyt Çakır 2007 yılında Avrupa'nın yalnızca üst düzey yetenekli hakemlerinin davet edildiği Mentör Programı'na davet ediliyor ve üstün başarılarından dolayı UEFA tarafından önemli müsabakalarda görevlendiriliyor.
Cüneyt Çakır'ın kariyerinde U19 Avrupa Şampiyonası (2007), U21 Avrupa Şampiyonası Yarı Finali (2009 İngiltere – İsveç), UEFA Avrupa Ligi Yarı Finali (2009-2010 sezonu Fulham-Hamburg), U20 Dünya Kupası Yarı Finali (2011 Portekiz – Fransa), UEFA Şampiyonlar Ligi Yarı Finali (2011-2012 Barcelona-Chelsea) ve EURO 2012 Yarı Finali (İspanya-Portekiz) gibi önemli maçlar ön plana çıkıyor.
Cüneyt Çakır 16 Haziran 2011 tarihinde UEFA tarafından en üst derece olarak sayılan "UEFA Elit Hakem" kategorisine yükseltiliyor.
Cüneyt Çakır ayrıca 2014'de Brezilya'da düzenlenen 2014 FIFA Dünya Kupası maçlarında, 1974 yılında görev alan Doğan Babacan'dan sonra Dünya Kupası'nda maç yöneten ikinci Türk hakem olma ünvanına da sahip.
Cüneyt Çakır'ın kariyeri açısından bir diğer önemli başarısı da 2015 UEFA Şampiyonlar Ligi'nde final maçı yöneten ilk Türk hakem olma ünvanına sahip olmasıdır.
